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矩阵的基本运算(Matrix Operations)

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发表于 2019-5-2 00:22:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
矩阵的基本运算(Matrix Operations)
目录
矩阵的基本运算(Matrix Operations)
目录
三个初等行(列)变换
加法(Plus)
乘法(Multiply)
与数的乘法
与矩阵的乘法
哈达马乘积(Hadamard product)
转置(Transpose)
方阵的行列式(Determinant)
克莱默法则(Cramer)
雅可比行列式(Jacobi)
逆(Inverse)
秩(Rank)
迹(Trace)
三个初等行(列)变换
交换两行(列)的位置;
将常数k(k≠0)k(k≠0)乘以某行(列)向量;
将某行(列)的元素乘以λλ倍加到另一个行(列)上。
经过初等变换后,矩阵变化,但线性系统没变化

加法(Plus)
两个行数、列数分别相等的矩阵(同型矩阵),加法运算才有意义。

[1324]+[1234]=[2558]
[1234]+[1324]=[2558]
交换律:A+B=B+AA+B=B+A
结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
乘法(Multiply)
与数的乘法
将数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。

[12−163−5]×4=[48−42412−20]
[1−1326−5]×4=[4−412824−20]
结合律:(ab)A=a(bA)(a+b)A=aA+bA(ab)A=a(bA)(a+b)A=aA+bA
分配律:a(A+B)=aA+aBa(A+B)=aA+aB
与矩阵的乘法
[142536]×⎡⎣⎢10815523⎤⎦⎥=[711701848]
[123456]×[10582153]=[711817048]
设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,则A与B的乘积C:
C=(cij)m×n
C=(cij)m×n
行数与左矩阵A相同,列数与右矩阵B相同。
C的第i行第j列的元素
cij=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n;)
cij=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n;)
不满足交换律
哈达马乘积(Hadamard product)
约束与加法相同,只是对应元素运算变为乘法。记作 ∘∘ 或 ∗∗ 或 ⊙⊙。

注意不要混淆,与一些计算机语言中的星号不同,这里星号(∗∗)不是指乘法(××)。为了避免混淆,一般使用 ∘∘ 或 ⊙⊙ 。

[1324]∘[1234]=[16616]
[1234]∘[1324]=[16616]
转置(Transpose)
记作ATAT或A′A′
A=[1502107−11]A′=AT=⎡⎣⎢⎢⎢1010−15271⎤⎦⎥⎥⎥
A=[1010−15271]A′=AT=[1502107−11]
(AT)T=A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)T=AT+BT
(AB)T=BTAT(AB)T=BTAT
(aA)T=aAT,a是常数(aA)T=aAT,a是常数
方阵的行列式(Determinant)
记作det(A)det(A)或|A||A|
只有方阵才能定义行列式
对角阵与三角阵的行列式|In|=1|In|=1
|kAn|=kn|An||kAn|=kn|An|
AB与BA不一定相等,但是|AB|=|BA|=|A||B||AB|=|BA|=|A||B|可能成立
克莱默法则(Cramer)
对线性方程组,如果有系数行列式D≠0D≠0,则方程组有唯一解
x1=D1D,⋯,xj=DjD,⋯,xn=DnD
x1=D1D,⋯,xj=DjD,⋯,xn=DnD

其中DjDj是把系数行列式DD中的第j列的元素用方程组右边系数替换后的n阶行列式
雅可比行列式(Jacobi)
当n元变量做线性变换时,行列式就是其微元倍数,即dx=|A|dtdx=|A|dt
逆(Inverse)
设A为n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B,使得
AB=BA=In
AB=BA=In

则称A为可逆矩阵,B为A的逆阵,记作B=A−1B=A−1
(A−1)−1=A(A−1)−1=A
(kA)−1=1kA−1(k≠0)(kA)−1=1kA−1(k≠0)
A、B均是同阶可逆矩阵,则(AB)−1=B−1A−1A、B均是同阶可逆矩阵,则(AB)−1=B−1A−1
(A−1)T=(AT)−1(A−1)T=(AT)−1
秩(Rank)
秩的算法:仅用初等行(列)变化把矩阵A化为阶梯矩阵,阶梯矩阵中不为0向量的行(列)数为矩阵A的秩。记作R(A)R(A)
阶梯矩阵:从上往下数,每一行从左到右第一个不为0的元素所在列严格递增。
行秩=列秩
A=⎡⎣⎢⎢⎢33212−206031−4565−10−1−34⎤⎦⎥⎥⎥r1↔r4−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢13236−202−4310−16554−1−30⎤⎦⎥⎥⎥
A=[320503−236−12015−316−4−14]r1↔r4→[16−4−143−236−12015−332050]
r2−3r1r3−2r1r4−3r1−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006−20−12−16−415912−19784−13−11−12⎤⎦⎥⎥⎥r4÷(−4)r2↔r4−→−−−−−⎡⎣⎢⎢⎢100064−12−20−4−3915−1−27943−11−13⎤⎦⎥⎥⎥
r2−3r1r3−2r1r4−3r1→[16−4−140−20159−130−1297−110−16128−12]r4÷(−4)r2↔r4→[16−4−1404−3−230−1297−110−20159−13]
r3+3r2r4+5r2−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006400−4−300−1−21−143−22⎤⎦⎥⎥⎥r4+r3−→−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006400−4−300−1−21043−20⎤⎦⎥⎥⎥
r3+3r2r4+5r2→[16−4−1404−3−230001−2000−12]r4+r3→[16−4−1404−3−230001−200000]
由于A的阶梯矩阵的前三行是非零向量,所以R(A)=3R(A)=3
零矩阵的秩是0
如果Am×nAm×n,则 0≤R(A)≤min{m,n}0≤R(A)≤min{m,n}
R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≤min{R(A),R(B)}
如果A可逆,那么R(B)=R(AB)R(B)=R(AB)
如果A是n阶方阵,R(A)=n⟺|A|≠0⟺A可逆R(A)=n⟺|A|≠0⟺A可逆
如果A是n阶方阵,R(A)<n⟺|A|=0⟺A不可逆R(A)<n⟺|A|=0⟺A不可逆
迹(Trace)
方阵A的对角线之和称为迹,记作tr(A)tr(A),即

tr(A)=∑i=1naii
tr(A)=∑i=1naii
tr(A)=∑ni=1λitr(A)=∑i=1nλi,即tr(A)=其特征值之和tr(A)=其特征值之和
tr(AB)=tr(BA)
---------------------
作者:沙沙的兔子
来源:CSDN
原文:https://blog.csdn.net/darkrabbit/article/details/80025935
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